PROBLEMAS DE HIDRODINAMICA RESUELTOS
CAUDAL – ECUACION DE CONTINUIDAD – BERNOULLI
(Tener en cuenta que el modelo planteado por Bernoulli funciona mejor cuando
los fluidos se aproximan lo más posible a las 3 condiciones siguientes: se
mueven en un flujo laminar, son poco viscosos, y poco compresibles)
H1)
El caudal medio de la sangre que circula en un tramo de un vaso sanguíneo que
no presenta ramificaciones es de 1 litro por minuto. Densidad aproximada de la
sangre 1 kg/lt.
a) ¿Cuál es la velocidad media de la sangre en un tramo en el que vaso tiene un
radio interior de 0,5 cm?
b) ¿Y si el radio interior del vaso es de 0,25 cm?
H2)
a) ¿A qué se debe que bajo los efectos del
viento los techos de chapa tienden a volarse
hacia arriba?
b) Algunos productos de limpieza vienen en
envases plásticos provistos de un gatillo
pulverizador. Explique el funcionamiento de
este dispositivo.
c) ¿Por qué es peligroso pararse muy cerca del
borde de un andén?
H3)
Un líquido de densidad 1 kg/lt se mueve
a razón de 3 mm/seg por un tubo
horizontal de 2 cm de diámetro. En cierta
parte, el tubo reduce su diámetro a 0,5
cm.
a) ¿Cuál es la velocidad del líquido en la
parte angosta del tubo?
b) ¿Cuál es la diferencia de presión del líquido a ambos lados del
angostamiento?
c) ¿Bajo qué hipótesis son válidas sus respuestas?
H4)
Por un caño horizontal de sección variable fluye un líquido de viscosidad
insignificante. Calcular la
diferencia de presión entre los
extremos del caño en función
de la velocidad de entrada, v, y
la densidad del líquido, δ, si:
a) la sección a la salida del caño
es el triple que la de entrada,
b) el diámetro a la salida del
caño es el triple que el de la entrada.
H5) Este problema es muy importante!!
Se llena una manguera con nafta y se cierra por sus
dos extremos. Se introduce un extremo en un
depósito de nafta a 0,3m por debajo de la superficie
y el otro a 0,2 m por debajo del primer extremo y se
abren ambos extremos. El tubo tiene una sección
transversal interior de área 4 x 10
-4
m². La densidad
de la nafta es 680 kg m
-3
.
a) ¿Cuál es la velocidad de salida de la nafta en el
instante inicial (antes que la altura del líquido ha varíe)?
b) ¿Cuál es el caudal inicial del flujo?
H6)
Se tiene un recipiente de sección cuadrada mucho mayor
que 1 cm², lleno de agua hasta una altura de 2,8 m con
una pequeña abertura de sección 1 cm² a 0,7 m de altura,
tapada por un corcho.
a) Calcular la presión manométrica sobre el corcho.
b) Si se extrae el corcho, calcular la velocidad de salida
del líquido.
H7)
Para un tubo horizontal de sección variable, como muestra la figura, con un
fluido viscoso que entra por un
extremo y sale por el otro, determine
para los puntos A, B y C, qué opción
es la correcta.
a) La velocidad en C es menor que en A.
b) Las velocidades y presiones en los tres puntos son iguales.
c) Las presiones en A y C son iguales.
d) La velocidad y la presión en A son mayores que en B.
e) La veloc. en A es menor que en B, y la presión en A es mayor que en C.
f) La diferencia de presión entre A y B es la misma que entre C y B.
Aclaración: Acá el fluido es viscoso lo cual implica una cierta pérdida de presión aún
si la cañería fuese perfectamente recta. Plantearlo como si fuese ideal y luego tener en
cuenta esta pequeña pérdida.
H8)
Por un caño horizontal fluye un líquido de viscosidad insignificante, densidad
1000 kg/m
3
y velocidad 2 m/s. En un tramo la cañería se angosta disminuyendo
su diámetro a la mitad. Entonces, la presión en la parte ancha de la cañería:
a) es inferior a la presión en la parte angosta en 6 kPa,
b) es inferior a la presión en la parte angosta en 30 kPa,
c) es igual a la presión en la parte angosta,
d) excede a la presión en la parte angosta en 6 kPa,
e) excede a la presión en la parte angosta en 12 kPa,
f) excede a la presión en la parte angosta en 30 kPa.
H9)
Se oprime el émbolo de una jeringa de modo que por la aguja sale líquido con
caudal Q. Si se alivia la presión sobre el émbolo de modo de reducir el caudal a
la mitad, considerando un líquido ideal, la diferencia de presión entre el líquido
que se mueve por la aguja, A, y el que se mueve por el émbolo, E, respecto de su
valor anterior es:
a) el doble, siendo en cada caso la presión en A mayor a la de E,
b) el doble, siendo en cada caso la presión en E mayor a la de A,
c) la mitad, siendo en cada caso la presión en A mayor a la de E
d) la mitad, siendo en cada caso la presión en E mayor a la de A,
e) un cuarto, siendo en cada caso la presión en E mayor a la de A,
f) un cuarto, siendo en cada caso la presión en A mayor a la de E.
H10)
Un caño horizontal de 5 cm² de sección, que transporta agua (considerarla fluido
ideal) a 2 m/seg tiene un tramo de 2,5 cm² de sección. Entonces, la diferencia de
presión entre
ambas secciones, expresada en pascales, es:
a) 500 b) 1,5 c) 6.000
d) 1.500 e) 375 f) 5
H11)
¿Qué fuerza produce un viento de 120 km/h sobre un techo de chapa de 3m x
3m? Considerar la densidad del aire 1,2 g/lt.
a) 2.500 kgr b) 500 ton c) 250 kgr
d) 150 kgr e) 31 kgr f) 600 kgr
H12)
Un tanque de agua de 6.000 litros de capacidad se encuentra a 20 m de altura.
¿Qué presión, en atm por encima de la atmosférica, debería proveer la empresa
que suministra el agua para que la misma llegue hasta el tanque?
a) 4 b) 1 c) 10 d) 2 e) 20 f) 0,2
H13)
Una canilla tiene una sección de 2 cm² y por ella circula agua
con un caudal volumétrico de 12 litros por minuto. Si el chorro
tiene una longitud de 45 cm, determinar la sección inferior del
mismo*.
RESOLUCIONES Y RESPUESTAS
RH1) Este ejercicio se resuelve simplemente aplicando la relación (a veces llamada de
continuidad) que dice que el caudal es igual al producto entre la sección del conducto
y la velocidad media del fluido:
Q = S . v
de ahí despejamos la velocidad
Rta: v = 21,2 cm/s
Si el radio interior fuese la mitad del anterior, entonces la velocidad va a ser cuatro
veces mayor. Hacé la cuenta vos.
RH2) El principio de Bernoulli tiene algunas aristas contrarias a la intuición. Este
ejercicio nos ofrece 3 ejemplos en los que se nota este aspecto en el que, si nos
agarran desprevenidos, reponderíamos contariamente a lo que ocurre en la realidad, y
cuya explicación descansa en la predicción de Bernoulli.
Supongamos que un día de tormenta se produce una ráfaga de viento muy violenta.
En ese momento una ventana mal cerrada puede abrirse inesperadamente.
Podríamos prever que el viento presiona con fuerza sobre la ventana que es abierta
hacia adentro de la casa. Lo que ocurre es lo contrario, se abre hacia afuera.
Exactamente el mismo fenómeno ocurre cuando se vuelan las chapas de techo, que
salen volando para desgracia de los ocupantes de la vivienda. No se trata de que el
viento las enganche desde los aleros o salientes. Lo que ocurre es que se cumple el
principio de Bernoulli:
P
int
+ ½ δ
aire
v
int
2
= P
ext
+ ½ δ
aire
v
ext
2
En esta comparación entre el interior de la vivienda y el exterior, he borrado los
términos de la energía potencial, ya que en el fenómeno que voy a explicar no hay
diferencias de altura.
Como la velocidad del viento en el interior de la vivienda es nulo podemos prescindir
del segundo término:
P
int
= P
ext
+ ½ δ
aire
v
ext
2
Acá vemos claramente que la presión interior debe ser mayor
que la exterior ya que debe ser igual a la suma de la presión
exterior más el término de energía cinética del viento. La
diferencia entre la presión exterior e interior es mayor cuanto
mayor sea la velocidad del viento. Esa diferencia de presiones
es la que empuja techos o ventanas hacia el exterior.
El asunto del pulverizador es complicado, debido a que en el
mercado existen varios mecanismos que funcionan de
diferente manera. Uno de ellos es éste.
El que utiliza el principio de Bernoulli es el mismo que el
aerógrafo, que se utiliza para pintar y es el que usan los
chapistas para pintar los autos. Consiste en un chorro de aire de gran velocidad que
pasa por la desembocadura de un tubo cuyo extremo inferior está sumergido en el
depósito de pintura, igual que estaría una chimenea con una abertura dentro de la
vivienda y el otro sobre el techo. La diferencia de presión entre el interior y el exterior
hace que la columna de pintura ascienda y al alcanzar la corriente de aire es
arrastrado y puverizado por éste.
Todavía se consiguen aerógrafos escolares para pintar con témperas, en los que la
corriente de aire se logra soplando con la boca.
La última pregunta nos previene de que las fuerzas producidas por la diferencia de
presión, producidas a su vez por la diferencia de velocidad del aire entre un lugar y
otro, pueden desplazarnos sin querer hacia lugares peligrosos.
Si vas a youtube y buscás con este simple criterio: Bernoulli, vas a encontrar cantidad
de videos en los que se observan desplazamientos inesperados provocados por
corrientes de aire, hacia el lado opuesto al que nuestra intuición lo hubiera previsto.
DESAFÍO: ¿Por qué la trayectoria de la pelota adquiere comba si se la impulsa con
rotación sobre sí misma?
Rta: El giro (o spin) produce una corriente de aire alrededor de la pelota, de un lado
acompaña el desplazamiento de la pelota y del otro va en contra. Eso produce una
diferencia de presión de aire de desvía a la pelota de costado.
RH3) Un típico ejercicio de fluidos en el que lo importante es que manejes los números
y las unidades con fluidez.
Acordate que una sección circular es igual a: S = (π/4) d
2
, de modo que...
S
E
= (π/4) d
E
2
= (π/4) 4 cm
2
S
S
= (π/4) d
S
2
= (π/4) 0.25 cm
2
Ahora, el principio de continuidad (conservación de la cantidad de materia) asegura:
Q
E
= Q
S
S
E
. v
E
= S
S
. v
S
Vs = Ve.SE/Ss
a) v
S
= 48 mm/s
Ahora tenemos que usar la ecuación de Bernoulli. Pero no vamos a poder
zafar -como en el caso anterior en el que se cancelaban las unidades no
homogéneas- de pasar todas las unidades a un sistema único. Pasemos
todo a MKS y de paso calculemos los cuadrados de las velocidades, que es
lo que requiere Bernoulli.
v
E
= 3 mm/s = 3 x10
-3
m/s
v
E
2
= 9 x10
-6
m
2
/s
2
v
S
= 48 mm/s = 48 x10
-3
m/s
v
S
2
= 2.304 x10
-6
m
2
/s
2
Ahora sí, vamos a Berni:
ΔP = ½ δ (v
E
2
– v
S
2
)
ΔP = ½ 1.000 kg/m
3
(9 x10
-6
m
2
/s
2
– 2.304 x10
-6
m
2
/s
2
)
ΔP = – ½ 10
3
kg/m
3
. 2,3 x 10
-3
m
2
/s
2
b) ΔP = – 1,15 Pa
La respuesta c) requiere fundamentalmente que des las características de los fluidos
ideales (aquellos a los que puede aplicarse el principio de Bernoulli), o sea: que no
sean viscosos, que no cambie el caudal, que sean irrotacionales, que sean laminares,
que no sean dulces ni salados, ni contengan sustancias alucinógenas...
RH4) Acá otro problema típico de conservación de energía en un fluido (Bernoulli).
Vamos con la primera parte en la que la sección de salida triplica la de entrada.
Escrita como ecuación, la condición del ejercicio dice:
3 S
E
= S
S
Eso tiene su consecuencia en la velocidad, y en la velocidad al cuadrado, ya que:
Q
E
= Q
S
S
E
. v
E
= S
S
. v
S
S
E
. v
E
= 3 S
E
. v
S
v
E
= 3 v
S
v
E
² = 9 v
S
²
v
E
² / 9 = v
S
²
Ahora podemos plantear la ecuación de Bernoulli (sin los términos de energía
potencial ya que todo ocurre a la misma altura).
ΔP = ½ δ (v
E
² – v
S
²)
ΔP = ½ δ (vE² – vE²/ 9) = ½ δ (8/9) vE²
ΔP = (4/9) δ vE²
a)
La nueva condición del ejercicio relaciona los diámetros de los tubos, no sus
secciones:
3 d
E
= d
S
9 d
E
² = d
S
²
pero a partir de ello podemos relacionar las secciones (acordate que una sección
circular es igual a S = (π/4) d²
9 (π/4) d
E
² = (π/4) d
S
²
9 S
E
² = S
S
²
Y esto tiene su consecuencia en la velocidad, y en la velocidad al cuadrado, ya que:
Q
E
= Q
S
S
E
. v
E
= S
S
. v
S
S
E
. v
E
= 9 S
E
. v
S
v
E
= 9 v
S
v
E
² = 81 v
S
²
v
E
² / 81 = v
S
²
Ahora planteamos la ecuación de Bernoulli
ΔP = ½ δ (v
E
² – v
S
²)
ΔP = ½ δ (v
E
² – v
E
²/ 81 ) = ½ δ (80/81) v
E
²
ΔP = (40/81) δ v
E
² b)
En ambos casos se trata de un aumento de presión ya que en la salida siempre
tenemos menor velocidad que en la entrada y, estando a la misma altura, a menor
velocidad mayor debe ser la presión.
RH5) Ahí tenés el esquema correcto del dispositivo enunciado. Se llama sifón, es el
sistema con el que se evacúan aquellos recipientes que no tienen agujero de desagote
y que no se pueden volcar. Si uno sigue el procedimiento descripto en el enunciado,
verá que por el extremo de afuera de la manguera sale el chorro que desagota al
recipiente y continúa vaciándolo mientras se cumpla que ese extremo esté más bajo
que la superficie libre del líquido. Sólo pensar que el líquido avanza por el tramo
ascendente hace que parezca mágico. Pero es Bernoulli puro.
De todos modos el problemita este presenta dos o tres dificultades interesantes.
La primera es saber elegir los puntos de la corriente que vamos a comparar con la
ecuación de Bernoulli. Está claro que el punto
C debe aparecer, ya que nos piden
hallar la velocidad del chorro de salida por la manguera. Pero ¿con cuál lo comparo,
con
B (ese es el primer impulso) o con A?
La respuesta es que sólo comparando con A hallaremos la solución. Una forma de ver
esto en forma intuitiva es viendo que a mayor altura de líquido, mayor va a ser la
presión y además, las condiciones de salida no pueden depender de cómo
acomodemos la manguera dentro del recipiente, es indistinto que la manguera este en
el fondo del recipiente o cerca de la superficie, lo que importa es la diferencia de altura
entre la superficie del líquido y el extremo libre de la manguera.
h
A
= 0,5 m, h
B
= 0,2 m, h
C
= 0 m
P
A
+ δ g h
A
+ ½ δ v
A
² = P
C
+ δ g h
C
+ ½ δ v
C
²
Las presiones en ambos puntos son iguales: en ambas se trata de la presión
atmosférica, porque el líquido está en contacto con el aire; de modo que se cancelan.
Si tomamos el nivel cero en la posición del punto C, su energía potencial se anula. Y la
altura de A es h
A
= 0,5 m, la suma de las dos diferencias de altura del enunciado.
Miremos lo que queda:
δ g h
A
+ ½ δ v
A
² = ½ δ v
C
²
g h
A
+ ½ v
A
² = ½ v
C
²
Acá aparece la segunda dificultad: no tenemos el valor de la velocidad del fluido en A,
que no es otra cosa que la velocidad con que desciende el nivel de nafta del tanque.
Por suerte hiciste este ejercicio, porque en varios otros vas a poder razonar de la
misma manera: la velocidad en A es despreciable respecto de la velocidad en C, de
modo que podés tirar todo ese término. Como ya sé que te parece un recurso
mentiroso, después de hacer el problema te voy a demostrar por qué es correcto
proceder así. Vamos de nuevo:
g h
A
= ½ v
C
²
ahora despejamos v
C
y calculamos
v
C
= ( 2 g h
A
)
½
v
C
= ( 2 . 10 m/s
2
. 0,5 m )
½
v
C
= 3,16 m/s
Conocida la velocidad y la sección, el caudal es sencillo:
Q
C
= S
C
. v
C
= 4 x 10
-4
m² . 3,16 m/s
Q
C
= 1,26 x 10
-3
m
3
/s
Te voy a justificar que nuestro recurso de despreciar la velocidad en A respecto de la
velocidad en C era válido. Supongamos que el depósito tenía 0,2 m² de sección (lo
imagino lo más chico posible para no favorecer mi postura). En ese caso, por
aplicación de la misma propiedad de continuidad, Q
C
= Q
A
= S
A
. v
A
, obtenemos
v
A
= 6,3 x 10
-3
m/s
la resolución por Bernoulli habría quedado así:
v
C
= ( 2 g h
A
+ v
A
² )
½
Y eso da... ¡exactamente lo mismo que antes! Recién aparece una diferencia en la 5ta.
cifra decimal. La razón es que cuando un número es mucho mayor que otro, al
elevarlos al cuadrado (como nos pide Bernoulli) la diferencia es muchísimo mayor y
eso justifica despreciar al más chico.
Todavía nos queda discutir la tercera dificultad, que consiste en lo siguiente: las
preguntas del enunciado dicen velocidad inicial y caudal inicial. ¿Por qué dicen inicial?
Los inexpertos suelen asociar la palabra inicial a la entrada de la corriente, y la palabra
final a la salida. Pero eso no tiene nada que ver con nuestro problema. El asunto es
que cuando la nafta empiece a salir la altura del nivel superior se va a modificar, y eso
hace que la velocidad de salida se modifique también (disminuyendo).
Era por eso.
RH6) La primera parte del ejercicio es muy, pero muy sencilla. Se trata de una
situación estática... hidrostática, que resolveremos, justamente, con el principio
general de la hidrostática.
Tomemos dos puntos que nos van a servir para las
dos partes del ejercicio: el punto A sobre la
superficie libre del líquido y el puntoB justo al
lado del orificio (ahora tapado por el corcho).
ΔP = δ g Δy
Como nos piden la presión manométrica, eso
significa que la presión en el punto A vale cero, y
la diferencia de presión resulta ser la presión
en B, la presión sobre la parte interna del corcho.
La diferencia de profundidad no es otra que la
profundidad a la que se encuentra el corcho.
Queda así:
P
B
= δ g y
B
P
B
= 1.000 kg/m
3
. 10 m/s² . 2,1 m
P
B
= 21.000 Pa
La segunda parte es claramente dinámica, porque el líquido comienza a fluir: se
escapa velozmente por el orificio y desciende lentamente el nivel superior. Vamos a
tener que aplicar el principio de Bernoulli.
P
A
+ δ g h
A
+ ½ δ v
A
² = P
B
+ δ g h
B
+ ½ δ v
B
²
Ahí aparece nuestra incógnita que es la velocidad del líquido en el agujero,
vB. Y el
resto parece interminable.
Pero puede resumirse bastante; por ejemplo: la presión en el punto B será -valga lo
que valga- igual a la presión en A, ya que el líquido está en ambos lugares en contacto
libre con la atmósfera y sometido exclusivamente a su presión; por lo tanto podemos
cancelarlos.
La altura de B (ojo que Bernoulli habla de alturas, no de profundidades) podemos
considerarla cero, y la de A, 2,1 m. Así vuela el término de la energía potencial de B.
Aún así, con lo hecho hasta ahora esta parte del ejercicio no saldría, ya que tenemos
una sola ecuación y dos incógnitas, fijate:
δ g h
A
+ ½ δ v
A
² = ½ δ v
B
²
Pero todavía podemos volar un término más ya que la velocidad con que desciende el
líquido en el punto A es muy pequeña respecto al punto B. Para los expertos es lógico
que esa gran diferencia autoriza la cancelación del término de energía cinética del
punto A, pero supongo que vos te lo debés tomar como una trampa sucia de la peor
calaña. Y que si a vos se te ocurriera hacer algo así en un examen te iniciarían juicio
por difamación de la ciencia con tres años de prisión no excarcelable. Hagamos lo
siguiente: por ahora creeme que se puede prescindir de ese término, y después de
hallar el resultado, te lo voy a justificar. Entonces el asunto nos queda así:
δ g h
A
= ½ δ v
B
²
suprimimos la densidad en ambos miembros y despejamos la velocidad de B.
v
B
² = 2 g h
A
vB = 6,48 m /s
La deuda: el enunciado aclara que la sección del recipiente, S
A
, es mucho mayor que
la de la abertura, S
B
. Haciendo una suposición austera, digamos unas 100 veces
más grande. Si aplicamos el principio de continuidad entre esos dos puntos
tenemos:
S
A
. v
A
= S
B
. v
B
100 S
B
. v
A
= S
B
. v
B
100 v
A
= v
B
v
A
= v
B
/ 100
Si incorporás esta relación a la ecuación de Bernoulli -cuando todavía no habíamos
despreciado el término de la velocidad- nos va a quedar una única incógnita, v
B
, y el
nuevo valor -calculalo- nos va a dar 6,48 m /s... creo que nos merecíamos ese
permiso.
RH7) Vamos a tratar de establecer todas las relaciones que podamos entre las
velocidades y las presiones de esos tres segmentos del tubo... luego nos fijamos cuál
de las proposiciones coincide o no con ellas.
Lo más fácil es el asunto de las velocidades: como el caudal debe ser el mismo en
toda la tubería (Q
A
= Q
B
= Q
C
) los productos de sección por velocidad deben ser
iguales también: S
A
v
A
= S
B
v
B
= S
C
v
C
. Luego, siendo las secciones A y C iguales
(o casi iguales) y la sección B menor a ellas... debe ocurrir que:
v
A
= v
C
v
B
> v
A
v
B
> v
C
Ahora vamos con las presiones. Como el fluido es viscoso debe haber una caída de
presión a lo largo del tubo... pero eso cuenta sólo si el tubo es de sección constante
(que no lo es), de modo que sólo sirve para comparar la sección A con la C.
P
A
> P
C
Para comparar la sección B con las otras dos es un poco más problemático. Según el
principio de Bernoulli, al aumentar la velocidad disminuye la presión. Eso pasa
justamente con el paso de A hacia B... que coincide con la disminución de presión por
viscosidad a lo largo del recorrido, de modo que acá no hay duda...
P
A
> P
B
Pero en el último par no podemos tener certeza, porque el efecto de la viscosidad
tiende a disminuir la presión al pasar de B a C... pero el efecto Bernoulli tiende a
generar un aumento de presión en el mismo pasaje (por disminución de la velocidad).
No hay datos para decidir qué efecto prevalece (incluso podrían compensarse
exactamente).
Pero con las certezas que pudimos encontrar hasta ahora... hay una sola que coincide
con alguna de ellas y no contradice ninguna. Te dejo el punteo a vos.
respuesta e), la única verdadera.
DESAFÍO: Rehacer el ejercicio pero, ahora, en posición vertical ascendente. Y luego
descendente.
RH8) Acá hay otro problema típico de conservación de energía (Bernoulli). Verás que
entendido esto el ejercicio tiene un 90% de álgebra y apenas un 10% de Física.
Resignados, las posiciones A y B:
El principio de continuidad relaciona los caudales en ambos sectores del caño:
Q
A
= Q
B
y también relaciona velocidades y secciones, pero el enunciado del problema no
relaciona las secciones sino los diámetros (el doble de los radios).
D
A
= 2 . D
B
r
A
= 2 . r
B
r
A
² = 4 . r
B
²
π . r
A
² = 4 . π . r
B
²
S
A
= 4 . S
B
Ahora volvamos al principio de continuidad
S
A
. v
A
= S
B
. v
B
4 . S
B
. v
A
= S
B
. v
B
4 . v
A
= v
B
Con esto podés saber cuánto vale la velocidad en B; pero contenete, no lo averigües,
tratá de soportarlo. Pasemos a Bernoulli (la expresión reducida, sin los términos que
hablan de las diferentes alturas):
P
A
+ ½ δ v
A
² = P
B
+ ½ δ v
B
²
reordeno para que el resultado sea la respuesta al problema,
P
B
– P
A
= ½ δ v
A
² – ½ δ v
B
²
P
B
– P
A
= ½ δ (v
A
² – v
B
²)
ahora recuerdo esa relación entre velocidades que me contuve de usar:
4 . v
A
= v
B
16 . v
A
² = v
B
²
esto lo meto en la de Bernoulli que estaba esperando:
P
B
– P
A
= ½ δ ( v
A
² – 16 . v
A
²)
P
B
– P
A
= – ½ δ 15 . v
A
²
P
B
– P
A
= – ½ . 15 . 1000 kg/m
3
. 4 m²/s²
P
B
– P
A
= – 30 kPa respuesta f)
NOTAS: era obvio que la presión en B debía ser menor ya que, al no haber diferencia
por desnivel, ahí la velocidad era mayor (¿viste que no hubo que calcular cuánto valía
la velocidad en la parte angosta?).
RH9)
Con este esquemita sencillísimo que hice ya alcanza para definir todas las variables
que entran en juego en el ejercicio. Pese a que en el texto voy a volver a hacerlo no
siempre es tan claro y práctico como en el esquema.
Si vos querés que el líquido fluya hacia la derecha no cabe otra posibilidad que la
presión sea mayor en el émbolo y menor en la aguja. Eso ya te permite descartar las
opciones a), c) y f).
Vamos a la resolución. Como lo que estamos inyectando es un líquido ideal
(probablemente un remedio para la gripe, o algo así) podemos utilizar el Principio de
Bernoulli. Con él describo el momento inicial
P
0E
+ δ g h
0E
+ ½ δ v
0E
² = P
0A
+ δ g h
0A
+ ½ δ v
0A
²
A menos que se trate de una jeringa gigante la diferencia de altura es despreciable...
en el sentido que las diferencias de presión que provoca la diferencia de altura son
insignificantes en comparación con las que provoca la diferencia de caudal. No vale
decir que la diferencia de alturas es cero porque el dibujo en el esquemita te lo hice
con la jeringa dispuesta horizontalmente: el tema es que aunque estuviese vertical, la
diferencia de altura es despreciable.
Entonces vamos a despreciar los términos de altura (de presión hidrostática) y vamos
a reagrupar los otros términos para operar más cómodamente.
ΔP
0
= ½ δ v
0A
² – ½ δ v
0E
²
ΔP
0
= ½ δ ( v
0A
² – v
0E
² )
El enunciado nada nos dice sobre las velocidades del líquido; en cambio habla de
caudales. Eso me incita a expresar las velocidades en función de los caudales. Eso es
fácil ya que para cualquier fluido se cumple siempre que el caudal, Q, es igual al
producto entre la velocidad del fluido, v, y la sección transversal del conducto, S.
Entonces:
v
0E
= Q
0
/ S
E
→ v
0E
² = Q
0
² / S
E
²
v
0A
= Q
0
/ S
A
→ v
0A
² = Q
0
² / S
A
²
No hace falta que te marque que el caudal siempre es el mismo en cualquier parte del
trayecto (principio de continuidad), por eso puse Q
0
en lugar de Q
0E
y Q
0A
.
Ahora vuelvo a escribir la última expresión que teníamos de Bernoulli, pero esta vez lo
hago en función de los caudales.
ΔP
0
= ½ δ [(Q
0
² / S
A
²) – (Q
0
² / S
E
²)] [1]
El mismo proceso nos llevaría a describir la situación final de este modo
ΔP
F
= ½ δ [(Q
F
² / S
A
²) – (Q
F
² / S
E
²)]
Y es dato del problema que el caudal en la segunda instancia es la mitad del caudal en
la primera instancia. O sea:
Q
F
= Q
0
/ 2 → Q
F
² = Q
0
² / 4
Si reemplazo esto en la última ecuación, queda:
ΔP
F
= ½ δ [(Q
0
² / 4S
A
²) – (Q
0
² / 4S
E
²)]
Sacando esos cuatros como factor común y luego fuera del paréntesis,
ΔP
F
= ¼ ½ δ [(Q
0
² / S
A
²) – (Q
0
² / S
E
²)] [2]
Ahora si comparás [1] con [2] coincidirás conmigo en que:
ΔPF = ¼ ΔP0 respuesta e)
Este documento contiene más páginas...
Descargar Completo
Ejercicios Resueltos Hidrodinamica.pdf
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
Estamos procesando este archivo...
Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.