Volver a Análisis Matemático I
Criterio del Cociente
Teorema. (Criterio del cociente o criterio de D’Alembert). Sea
a
k
una serie de términos positivos.
Si existe lim
k
a
k1
a
k
y lim
k
a
k1
a
k
L podemos afirmar lo siguiente:
a
Si L 1 la serie
a
k
es convergente
b
Si L 1 la serie
a
k
diverge
c
Si L 1 el criterio no decide el comportamiento de
a
k
Demostración.
a
Por una propiedad de los números reales, lim
k
a
k1
a
k
1 implica que existe q R tal que
lim
k
a
k1
a
k
q 1, lo que nos permite afirmar que existe un número real positivo N tal que
a
k1
a
k
q
para todo k N o equivalentemente
a
k1
a
k
q
k1
q
k
para todo k N, que podemos reescribir
a
k1
q
k1
a
k
q
k
para todo k N. Esta última desigualdad indica que la sucesión
a
k
q
k
es decreciente para k N y
por consiguiente está acotada, esto es, existe b
0,
tal que
a
k
q
k
b
para todo k N o equivalentemente
a
k
bq
k
y por el criterio de comparación
bq
k
es una serie geométrica convergente podemos concluir que
a
k
es convergente.
b
Si lim
k
a
k1
a
k
1 existe un número real positivo M tal que
a
k1
a
k
1 para todo k M, por lo tanto
a
k1
a
k
para todo k M, esto es,
a
k
es una sucesión creciente, por consiguiente lim
k
a
k
0 y la
serie
a
k
no converge por condición necesaria.
c
Si lim
k
a
k1
a
k
1 puede ocurrir que
a
k
sea convergente o no.
La serie armónica
1
k
es divergente y
lim
k
1
k1
1
k
lim
k
k
k 1
1
Por otro lado, para la serie
1
k
2
tenemos
lim
k
1
k1
2
1
k
2
lim
k
k
2
k 1
2
1
sin embargo la misma convege por ser una p serie con p 1.
Ejemplo. Consideremos la serie geométrica
aq
k
. Si aplicamos este criterio a la misma tenemos
lim
k
|
aq
k1
|
|
aq
k
|
lim
k
|
q
|
|
q
|
de modo que la serie es convergente si
|
q
|
1 lo que concuerda con lo estudiado en la serie
geométrica.
Teoremas del cálculo integral (1).pdf
browser_emoji Estamos procesando este archivo...
browser_emoji Lamentablemente la previsualización de este archivo no está disponible. De todas maneras puedes descargarlo y ver si te es útil.
Descargar
. . . . .