Cap´ıtulo1
Elcuerpodelosn´umerosreales
1.1.Introducci´on
Existendiversosenfoquesparaintroducirlosn´umerosreales:unodeellospartedelos
n´umerosnaturales1,2,3,...utiliz´andolosparaconstruirlosn´umerosracionalesy´estosson
asuvezutilizadosparaconstrui rlosn´u me rosi rr aci on al es,talescomo
√
2yπ.Losn´umeros
realesser´ıanentonceslauni ´ondelosn´umerosracionaleseirracionales.Sinembargoenesta
asignaturas´olonosinteresanlaspropiedadesdelosn´umerosr eal e synolaformaempleadapara
construirlos,poresovamosaintroducirlosdesdeunpuntodevistaaxiom ´atico.
Supondremosqueexisteunconjuntonovac´ıoR,llamadoconjuntodelosn´umerosreales,que
satisfaceunaseriedeaxiomasqueagruparemosen3categor´ıas:axiomasdecuerpo,axiomasde
ordenyaxiomadelsupremo(llamadotambi´enaxiomadecompletitudoaxiomadecontinuidad).
1.2.Axiomasdecuerpo
SuponemosqueenRhaydefinidaunaope rac i´oninterna+:R×R→R,(x,y)→x+y,
llamada“suma”quesatisfacelassi gu ie ntespropiedades:
(a1)Asociativa:x+(y+z)=(x+y)+z,∀x,y,z∈R.
(a2)Conmutativa:x+y=y+x,∀x,y∈R.
(a3)Existenci adeelementoneutro:Exis t eunn´umerorealquellamaremos0talque
x+0=0+x=x,∀x∈R.
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