28/02/2008
Álgebra y Geometría Analítica Unidad 1
MATRICES
Definición: una matriz es un arreglo rectangular de símbolos o números encerrados entre corchetes. Los
números del arreglo se denominan elementos y están ubicados en “p” filas y “q” columnas (Antón, 47)
Ejemplos:
[]
j1
pq2p1p
q22221
q11211
a
a....aa
.............................
a.....aa
a.....aa
A
0
0
1
B
fed
cba
A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
Matriz cuadrada;
una matriz es cuadrada si tiene igual número de filas que de columnas.
Ejemplos:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
ihg
fed
cba
B
10
01
A
Matriz nula:
Es aquella en que a
ij
=0 para todo i,j . Se simboliza:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
00
00
O
Matriz diagonal:
una matriz cuadrada es diagonal si verifica que a
ij
= 0 para todo i ≠ j.
Ejemplo:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
i0
01
B
000
020
001
A
Matriz identidad:
es aquella matriz cuadrada que verifica que:
⎩
⎨
⎧
≠
=
jisi
jisi
a
ij
0
1
Ejemplo:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
010
001
I
Matriz transpuesta
: si A es cualquier matriz mxn, entonces la transpuesta de A, denotada A
t
, se define como
la matriz nxm que se obtiene al intercambiar las filas y la columnas de A. Es decir, la primera fila de A es la 1º
columna de A
t
, la segunda fila de A es la 2º columna de A
t
, y así sucesivamente. (Antón, 57). O sea que (A
t
)
ij
=(A)
ji
.
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Álgebra y Geometría Analítica Unidad 1
Ejemplo:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
42
31
A
43
21
t
A
Propiedades:
a) (A
t
)
t
= A
b) (α.A)
t
= α.A
t
(α escalar)
c) si A y B son matrices pxq: (A+B)
t
= A
t
+ B
t
d) Si A y B son matrices de orden pxq y qxr respectivamente, entonces: (A.B)
t
= B
t
. A
t
Matriz simétrica:
una matriz cuadrada A es simétrica si A = A
t
(Antón,97)
Ejemplo:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
03
32
A
Matriz antisimétrica:
una matriz cuadrada A se denomina antisimétrica si A
t
= -A (Antón, 102)
Ejemplo:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
01
10
A
Matriz triangular
: Una matriz cuadrada en la que todos los elementos arriba de la diagonal principal son cero
se denomina triangular inferior, y una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal
principal son cero se denomina triangular superior. Una matriz que es triangular inferior y superior se
denomina triangular. (Antón, 95)
Ejemplo:
inferiorr triangulaes
05-4
032
001
B superior r triangulaes
100
200
921
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=A
Traza de una matriz:
se denomina traza de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal y
se escribe tr(A) =
∑
=
n
i
ii
a
1
Propiedades:
o tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
o tr(kA) = k. tr(A)
o tr(A
t
) = tr(A)
o tr(A.B) = tr(B.A)
Operaciones con matrices
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Álgebra y Geometría Analítica Unidad 1
Suma: sean A y B matices del mismo orden, entonces la suma A+B es la matriz obtenida al sumar los
elementos correspondientes de B con los de A . O sea: (A+B)
ij
= (A
ij
)+(B)
ij
= a
ij
+ b
ij
Ejemplo:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
45
64
A
08-
45-
B
43
21
BA
Propiedades:
a) A + B = B +A
b) A+(B+C) = (A+B)+C
c) A+O=A
d) A+(-A) = O
Producto por un escalar: Si A es una matriz y c un escalar, el producto c.A es la matriz que se obtiene al
multiplicar cada elemento de A por c. O sea: (c.A)
ij
= c.(A)
ij
= c.a
ij
Propiedades:
a) c(A+B) = cA+cB con c escalar y A y B matrices del mismo orden
b) (c+d)A = cA+dA con c y d escalares
c) (c.d)A = c.(d.A)=(d.c)A con c y d escalares
Producto de matrices: Si A es una matriz pxq y B es una matriz qxr, entonces el producto A.B es la matriz
pxr cuyos elementos se determinan así: “para el elemento ij de A.B multiplicar entre sí los elementos
correspondientes de la fila i de A y la columna j de B y luego sumar los productos.
Ejemplo: =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++
+++
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
10.47.39.46.38.45.3
10.27.19.26.12.81.5
A.B
1098
765
B
43
21
A
En forma general:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
pr2p1p
r11211
qr3q2q1q
r1131211
pq3p2p1p
q1131211
ccc
ccc
bbbb
bbbb
.
aaaa
aaaa
L
LLLL
L
L
LLLLL
L
L
LLLLL
L
donde:
c
11
= a
11
.b
11
+ a
12
.b
21
+….+a
1q
.b
q1
c
21
= a
21
.b
11
+ a
22
.b
21
+……+ a
2q
.b
q1
……………………………………….
C
ij
= a
i1
.b
1j
+ a
i2
.b
2j
+……..+ a
iq
.b
qj
= con
bkj.a
q
1k
ik
∑
=
r j 1y p i 1
≤
≤
≤
≤
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Álgebra y Geometría Analítica Unidad 1
Propiedades:
a)
(A.B).C = A.(B.C)
b) A(B+C) = A.B+A.C
c) (A+B).C = A.C + B.C
Comentario: por la condición que deben cumplir las matrices A y B para que su producto esté definido,
podemos decir que en algunos casos aunque A.B esté definido no necesariamente B.A lo estará. Además,
aunque ambos productos estén definidos, no siempre el resultado de multiplicar A.B es igual que el resultado de
B.A. Por lo tanto podemos decir que “ el producto de matrices no verifica la propiedad conmutativa”. O sea:
A.B ≠ B.A
Potencia de una matriz: si k es un entero y A una matriz cuadrada :
4434421
vecesk
k
AAAAA ..........=
Operaciones elementales
Existen sólo
tres operaciones elementales:
intercambiar dos filas (o columnas) entre sí.
Multiplicar una fila (o columna) por un escalar distinto de cero.
Sumar a una fila (o columna) un múltiplo de otra fila (o columna)
Matrices elementales
Son aquellas matrices que se obtienen mediante una sola operación elemental sobre la matriz identidad.
Ejemplo:
3231
2
FF
3
F3·F
2
(-2)F
1
010
100
001
E
100
010
301
E
20
01
E
↔+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
Sea A una matriz mxn y E una matriz elemental de mxm, la multiplicación por izquierda de A por E realiza la
misma operación elemental en las filas de A que la realizada en la identidad para obtener E. Si la operación se
hace por derecha, se opera sobre las columnas.
Matrices equivalentes
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Álgebra y Geometría Analítica Unidad 1
Definición:
Una matriz B es equivalente por filas a A si existe una secuencia finita E
1
, E
2
, E
3
........E
k
de
matrices elementales tales que: B = E
k
, E
k-1,
......E
1
.A
Matrices escalonadas
Una matriz está escalonada por filas si satisface:
9 Todas las filas que tienen sólo ceros están en la parte inferior de la matriz
9 Si un renglón no consta completamente de ceros, entonces el primer elemento distinto de cero de la fila
es un uno ( uno principal).
9 En dos filas consecutivas cualesquiera que no conste completamente de ceros, el uno principal del
renglón aparece más a la derecha que el uno principal del renglón anterior.
Ejemplo:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
010
241
B
000
100
431
A
Matriz escalonada reducida:
son las matrices escalonadas que tienen ceros por encima y por debajo del
uno principal.
Ejemplo:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
010
001
A
Una matriz A puede llevarse a escalonada o escalonada reducida utilizando operaciones elementales. De esta
manera se obtiene la forma escalonada o escalonada reducida equivalente de A. (Método de Gauss-Jordan)
Rango de una matriz:
es la cantidad de filas distintas de cero de la forma escalonada equivalente de una
matriz.
Inversa de una matriz
Sea A una matriz cuadrada de orden mxm, una matriz C de orden mxm es la inversa de A si: A.C = C.A =I
La escribimos: C = A
-1
Ejemplo:
IC.AA.C
21
53
C
31
52
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=A
Propiedad
Si una matriz tiene inversa, ésta es única.
Demostración:
sea A , C y D matrices de orden mxm, y sean C y D dos inversas de A.
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Álgebra y Geometría Analítica Unidad 1
A.C=I
D(A.C)=DI
(D.A).C = D
I.C = D
C = D luego la inversa es única
Las matrices que tienen inversa se las llama
invertibles o no singulares.
Propiedades :
Si A y B son matrices invertibles de mxm:
a) A.B es inversible
⇒
(A.B)
-1
= B
-1
.A
-1
Demostración:
(A.B).(B
-1
.A
-1
)=
=A.(B.B
-1
).A
-1
=
= I
luego B
-1
A
-1
es la inversa de A.B
b)
escalark con A
k
1
)A.k(
11 −−
=
c)(A
-1
)
-1
=A
d) (A
m
)
-1
= (A
-1
)
m
e) (A
t
)
-1
= (A
-1
)
t
f) I
-1
= I
Cálculo de la inversa
Para encontrar una matriz X=A
-1
tal que A.X = I, debemos ampliar la matriz A con la identidad y trabajar de la
siguiente manera:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
2110
5301
1031
015-2
IA
31
52
M
M
M
M
MA
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Álgebra y Geometría Analítica Unidad 1
Alumno:
Curso: fecha:
EVALUACIÓN
Si A es una matriz que se obtiene a partir de I
5
(identidad de orden 5) permutando las dos primeras filas
y luego multiplicando la última fila por (-3) entonces el rango de A es:
3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 5 ( ) NRAC ( )
Si A
2
= I, entonces A.(A+B) es igual a:
AB-I ( ) 2I+AB ( ) AB + I ( ) I+B ( ) NRAC ( )
Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F )
Si A es una matriz de orden nxn, entonces A es inversible
Si A es una matriz simétrica, entonces A es diagonal
Cualquiera sea la matriz A, la matriz A.A
t
es simétrica
Toda matriz antisimétrica admite matriz inversa
La suma de matrices diagonales inversibles es una matriz diagonal inversible
Si A.B = 0, entonces A = 0 ó B = 0
Si A es una matriz diagonal, entonces A es simétrica
Si A = 0 ó B= 0, entonces A.B = 0
La traza de la matriz ( 2I + 0) es igual a 6
Toda matriz equivalente por filas a la matriz 3.I admite inversa
La suma de matrices diagonales inversibles, es una matriz diagonal inversible.
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Álgebra y Geometría Analítica Unidad 2
DETERMINANTES
A cada matriz cuadrada es posible asociarle un número real llamado determinante. O sea, a cada matriz A
de orden nxn, es posible asociar un escalar det(A).
Producto elemental
: un producto elemental de una matriz A de orden nxn se define como cualquier
producto de m elementos de A donde todos los factores pertenecen a filas y columnas distintas.
2112
2211
2221
1211
.a elemental producto
.a elemental producto
a
a
aa
aa
A
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
Signo de un producto elemental:
Una permutación del conjunto de enteros {1,2,3....,n} es un arreglo de éstos en algún orden sin omisiones ni
repeticiones. (Antón, 108)
Inversión
: ocurre una inversión en una permutación, siempre que un entero mayor precede a un menor.
Permutación Cantidad de inversiones
1) 1,2,3 0
2) 1,3,2 1
3) 3,1,2 2
Se dice que una permutación es impar si el número total de inversiones es impar. En caso contrario, la
permutación es par.
Un producto elemental con signo de A, será el producto multiplicado por (+1) si {j
n
njjj
aaa .....
21
21
1
;j
2
;...j
n
}
es una permutación par, o estará multiplicado por (-1) si {j
1
;j
2
;...j
n
}es una permutación impar.
Definición de determinante
Sea A una matriz cuadrada. La función determinante (det(A) o ⏐A ⏐) se define como la suma de todos los
productos elementales con signo de A.
Ejemplo:
21122211
2221
1211
..)det( aaaa
aa
aa
A −==
Propiedades
a) det(A
t
) = det(A)
b) si A es una matriz triangular, el det(A) es el producto de los elementos de la diagonal.
c) Si A tiene una fila o columna completa de ceros, entonces det(A) = 0
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Álgebra y Geometría Analítica Unidad 2
d) Si A es una matriz que tiene dos filas o columnas idénticas, entonces det(A) = 0
e) Si A’ es la matriz que se obtiene de multiplicar a una sola fila o columna de A por una constante k,
entonces det(A’) = k det(A)
f) Si A’ es la matriz que se obtiene de intercambiar dos filas o columnas de A, entonces det(A’) = -
det(A)
g) Si A’ es la matriz que se obtiene de sumarle a una fila o columna de A un múltiplo de otra, entonces
det(A’)=det(A)
h) Si A y B son matrices cuadradas de igual orden, entonces det(A.B)=det(A).det(B)
i) A es inversible ⇔ det(A) ≠ 0
Demostración:
⇒) 0)det( inversible esA
?
≠
⇒
A
A es invertible ⇒ A.A
-1
= I ⇒ Det(A.A
-1
) = det(I) ⇒ det(A).det(A
-1
) = 1 ⇒ det(A) ≠ 0
⇐ ) inversibleesAA
⇒
≠
?
0)det(
E
k
.E
k-1
.......E
1
.A = R ⇒
⇒ det (E
k)
.det(E
k-1
) .......det(E
1
) .det(A) = det(R) ⇒
⇒ det (R ) ≠ 0
⇒ R no tiene ninguna fila de ceros
⇒ R = I
⇒ A es equivalente por filas a I
⇒ A es inversible
j) Si A es invertible :
)det(
1
)det(
1
A
A =
−
Demostración:
Si A es invertible A.A
-1
= I
det(A.A
-1
) det(I)
det(A).det(A
-1
) = 1
det(A
-1
) =
)det(
1
A
Cálculo de determinantes de matrices de mxm
Menor complementario
: Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor complementario del elemento
a
ij
(se anota M
ij
) se define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar la i-ésima
fila y la j-ésima columna de A.
El número (-1)
i+j
M
ij
se denota C
ij
y se denomina cofactor del elemento aij.
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2
Álgebra y Geometría Analítica Unidad 2
Desarrollo por cofactores
El determinante de una matriz cuadrada A se puede calcular como:
det(A) = a
1j
C
1j
+a
2j
C
2j
+......+a
nj
C
nj
det(A) = a
i1
C
i1
+ a
i2
C
i2
+ .....+ a
in
Matriz adjunta:
Si A es cualquier matriz cuadrada y C
ij
es el cofactor de a
ij
, entonces la matriz
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnn
n
ccc
ccc
K
KKKK
K
21
11211
se denomina matriz de cofactores de A. A la transpuesta de esta matriz se la
denomina adjunta de A y se escribe Adj(A).
Cálculo de la inversa
Se A es una matriz invertible:
)(.
)det(
1
1
AAdj
A
A =
−
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Álgebra y Geometría Analítica Unidad 2
Alumno:
Curso: fecha:
Evaluación
En el siguiente ejercicio una sola es la respuesta correcta. Márquela con una cruz:
Si
:a igual es
cba
2f2e2d
ihg
entonces 5=
ihg
fed
cba
10 ( ) -10 ( ) -5 ( ) 5 ( ) NRAC ( )
Sean C y D matrices de 3x3. Completar las siguientes expresiones para que resulten proposiciones
verdaderas.
Det( C-2C
t
)= ............................
Det ((-DC) = ............................
Det( 3C
-1
) =............................
Det(2(CD)
-1
) = ............................
Det (5(DC)
t
)= ............................
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4
Álgebra y Geometría Analítica Unidad 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal con n incógnitas tiene la forma : a
1
x
1
+a
2
x
2
+.....+a
n
x
n
donde los a
i
son números reales y
a los x
i
se los denomina incógnitas o variables.
Un sistema de ecuaciones lineales con “n” ecuaciones y “p” incógnitas tiene la forma:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=++++
=++++
=++++
npnpnnn
pp
pp
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
.........
...............................................................
........
........
332211
22323222121
11313212111
El conjunto de todos los valores que puede tomar x
1
,x
2
,x
3
,.....,x
n
es el conjunto solución S.
Ejemplo:
i) S={(2;0)}
⎩
⎨
⎧
=−
=+
2
2
21
21
xx
xx
ii) S = ∅
⎩
⎨
⎧
=+
=+
1
2
21
21
xx
xx
iii) S tiene infinitos elementos
⎩
⎨
⎧
−=−−
=+
2
2
21
21
xx
xx
Tiene
solución
No tiene
solución
determinado
COMPATIBLE
INCOMPATIBLE
indeterminado
SEL
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